☛ Sphère circonscrite à un tétraèdre

Énoncé

L'espace est muni d'un repère orthonormé \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) .

Soit \(\text A(0~;~1~;-2)\) ,  \(\text B(4~;~5~;-2)\) ,  \(\text C(4~;~1~;~0)\)  et  \(\text D(2~;~3~;~2)\)  quatre points.

1. Justifier que les quatre points ne sont pas coplanaires. Les quatre points forment donc un tétraèdre  \(\text A\text B\text C\text D\) .

2. Déterminer des  équations cartésiennes des plans médiateurs des segments  \([\text A\text B]\) ,  \([\text B\text C]\)  et  \([\text C\text D]\) .

3. Justifier que les trois plans médiateurs ont un seul point en commun qu'on notera \(\text G\)  et dont les coordonnées sont  \(\text G(2~;~3~;-1)\) .

4. Calculer les longueurs  \(\text G\text A\) ,  \(\text G\text B\) ,  \(\text G\text C\)  et  \(\text G\text D\) . Que déduit-on pour les quatre points \(\text A\) , \(\text B\) , \(\text C\) et \(\text D\) ?

Solution

1. On démontre que les trois vecteurs  \(\overrightarrow{\text A\text B}(4~;~4~;~0)\) ,  \(\overrightarrow{\text A\text C}(4~;~0~;~2)\)  et  \(\overrightarrow{\text A\text D}(2~;~2~;~4)\)  ne sont pas coplanaires. 
Les vecteurs \(\overrightarrow{\text A\text C}\) et \(\overrightarrow{\text A\text D}\) sont non nuls, on cherche donc  \(a\) et \(b\) réels tels que  \(\overrightarrow{\text A\text B}=a\overrightarrow{\text A\text C}+b\overrightarrow{\text A\text D}\) . 
Ces réels vérifient donc  \(\begin{cases} 4=4a+2b \\ 4=2b \\ 0=2a+4b\\ \end{cases}\) .

La deuxième équation donne  \(b=2\) .

Puis, en remplaçant dans la première équation, on obtient :  \(a=0\) .

En remplaçant la valeur de \(b\) dans la troisième équation, on obtient :  \(a=-4\) .

Le système n'admet pas de couple solution. Donc les trois vecteurs sont non coplanaires.

2. Plan médiateur du segment [AB]

Soit \(\text I\) le milieu du segment \([\text A\text B]\)  :  \(\text I(2~;~3~;-2)\) .

Le plan médiateur est dirigé par  \(\overrightarrow{\text A\text B} \begin{pmatrix} 4\\4\\0\\ \end{pmatrix}\)  et passe par  \(\text I(2~;~3~;-2)\) .

Donc une équation cartésienne de ce plan est de la forme :  \(4x+4y+d=0\) .
Avec le point  \(\text I\) , on trouve  \(d=-20\) . Une équation cartésienne de ce plan est donc :  `x+y-5=0` .

En procédant de même, on trouve que le plan médiateur du segment   \([\text B\text C]\) a pour équation  \(-2y+z+7=0\)  et que le plan médiateur du segment  \([\text C\text D]\)  a pour équation  \(-x+y+z=0\) .

3. On résout le système :  \(\begin{cases} x+y-5=0 \\ -2y+z+7=0 \\ -x+y+z=0\\ \end{cases}\)  par combinaison.
En ajoutant la première et la troisième équations, on obtient :  \(\begin{cases} x+y=5 \\ -2y+z=-7 \\ 2y+z=5\\ \end{cases}\) .
En ajoutant la deuxième et la troisième équation, on obtient :  \(\begin{cases} x+y=5 \\ -2y+z=-7 \\ 2z=-2\\ \end{cases}\) , ce qui donne, de proche en proche,  \(\begin{cases} x=2 \\ y=3 \\ z=-1\\ \end{cases}\) .

On vérifie que ce triplet est bien solution du système.
Il correspond aux coordonnées du point d'intersection des trois plans :  \(\text G(2~;~3~;-1)\) .

4. On trouve  \(\overrightarrow{\text A\text G} \begin{pmatrix} 2\\2\\1\\ \end{pmatrix}\) , donc  \(\text A\text G=\sqrt{2^2+2^2+1^2}=\sqrt{9}=3\) .
De même, on trouve : 

• \(\overrightarrow{\text B\text G}\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\)  puis  \(\text B\text G=3\)  ;
  
• \(\overrightarrow{\text G\text C} \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\)  puis  \(\text G\text C=3\)  ; 
  
• \(\overrightarrow{\text G\text D} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\)  puis  \(\mathrm{GD}=3\) .

On a donc  \(\text G\text A=\text G\text B=\text G\text C=\text G\text D\) . Les points  \(\text A\) , \(\text B\) , \(\text C\) et \(\text D\)  sont sur la sphère de centre  \(\text G\)  et de rayon  \(3\) .

Remarque

\(\text G\) est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre \(\text A\text B\text C\text D\) . C'est l'équivalent, dans l'espace, du centre du cercle circonscrit à un triangle dans le plan.